CAMBIO DE BASE Cuando se elige una base B para un espacio vectorial V de dimensión n, la función de coordenadas asociadas sobre Rn proporciona un sistema de coordenadas para V. Se identifica de manera únicacon su vector de B.
EJEMPLO:
Fórmula para cambiar de base
logb(x)=logc(x)logc(b)
No olvidéis que la base de un logaritmo siempre debe ser positiva y distinta de 1.
Ejemplos
Observad que calcular los logaritmos del siguiente ejercicio no es sencillo en tanto que el argumento no puede escribirse como una potencia de la base. Esto se soluciona al cambiar a la base binaria.
Ejercicio 1
Pasad los siguientes logaritmos a base binaria para poder calcular su resultado:
log4(32)
log4(2)
log8(32)
log32(8)
log16(2)
Solución
Observad que en el ejercicio anterior ha sido fácil calcular el resultado final porque tanto la base como el argumento de los logaritmos eran potencias de la nueva base del logaritmo. Esto no ocurre en el siguiente ejercicio:
Ejercicio 2
Pasad los siguientes logaritmos de potencias de 2 a base binaria:
log5(16)
log10(4)
loge(32)
log5(2)
ln(8)
Solución
Ejercicio 3
Pasad los siguientes logaritmos a una base adecuada para que su cálculo sea inmediato:
log25(5)
log9(27)
log8(16)
log100(10)
IMAGEN
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Es la exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
EJEMPLO:
LOGARITMO DEL PRODUCTO
Log (a.b) = log (a) + log (b)
El logaritmo de un producto de factores es la suma de los logaritmos de los factores.
LOGARITMO DEL COCIENTE
Log (a/b) = log (a) - log (b)
El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos del numerador y del denominador.
LOGARITMO DE LA POTENCIA
log (a) = b• log (a)
El logaritmo de una potencia es el producto del exponente de la potencia por el logaritmo de la base.
Las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = bx, donde b > 0 y b ≠ 1. Al igual que cualquier expresión exponencial, b se llama base y x se llama exponente.
las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada) es directamente proporcional al valor de la función. La constante de proporcionalidad de esta relación es el logaritmo natural de la base b:
Las funciones de crecimiento exponencial son supuestas porque el valor de una función de crecimiento exponencial aumenta siempre. Las funciones de crecimiento exponencial se utilizan para modelar el crecimiento demográfico. Una función exponencial puede modelar exactamente el crecimiento demográfico donde la disponibilidad de recursos no limita excesivamente el crecimiento.
función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b 0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
Ejemplo:
Problema
Hacer una tabla de valores para f(x) = 3x.
x
f(x)
Has una “T” para empezar la tabla con dos columnas. Etiqueta las columnas con x y f(x).
x
f(x)
−2
−1
0
1
2
Escoge varios valores para x y ponlos como filas separadas en la columna x.
Consejo: Siempre es bueno incluir el 0, valores positivos y valores negativos, si es posible.
Respuesta
x
f(x)
−2
−1
0
1
1
3
2
9
Evalúa la función para cada valor de x y escribe el resultado en la columna f(x) junto al valor de xcorrespondiente. Por ejemplo, cuando x = −2, f(x) = 3-2 = = , entonces va en la columna f(x) junto al −2 de la columna x. f(1) = 31 = 3 y 3 va en la columna f(x) junto al 1 de la columna x.
Observa que tu tabla de valores podría ser distinta a la de alguien más, si escogiste diferentes números para x.
Otro método para calcular límites el cual podemos utilizar es el método de aproximación. El modelo se utiliza para ayudar a la toma de decisiones en la realización de actividades como: control de inventarios, flujo de efectivo, programación de niveles de reservas en prensas entre otras.
la division que marca una separacion entre dos regiones se conoce como limite. Este termino tambien se utiliza para nombrar a una restricccion o limitacion, al extremo que se puede alcanzar desde al aspecto fisico y al extremo a que llega un periodo temporal.
Para la matematica , un limite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los terminos de una secuencia infinita de magnitudes. un limite matematico, por lo tanto, expresa la tendencia de una funcion o de una sucesion mientras sus parametros se aproximan a un cierto valor.
Una definicion informal del limite matematico indica que el limite de una funcion f(x) es T cuando X tiende a S, siempre que se puede hallar para cada ocasion un X cerca de S de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda.
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
Si existe un número “a” tal, que :
La recta “x = a” es la asíntota vertical.
Ejemplo:
es la asíntota vertical
Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite: :
La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
es la asíntota horizontal.
Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
es la asíntota oblicua.
NOTA
1. Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.
2. En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.
Posición relativa de la función con respecto a la asíntota
Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:
Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota].
Ejemplo:
La función tiene por asíntota oblicua la recta
Calculamos los puntos de intersección de ambas:
El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).
Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.
Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.
Las funciones racionales son el dominio de formar todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.
Las funciones racionales tiene diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar aproximar los resultados de otras funciones mas complejas, ya que son computacional mente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.
EJEMPLOS
Una función racional, es una función de la forma:
Donde P(x) y Q(x) son funciones polinomiales. Si bien las funciones racionales están formadas por funciones polinomiales, sus gráficas son muy distintas.
El dominio de una función racional está formado por todos los números reales x; excepto aquellos para los cuales el denominador es cero. En esos puntos se generan asíntotas.
¿Cómo graficar funciones racionales?
1 Factorizar la función. 2 Encontrar los puntos de intersección con eje X y eje Y. 3 Encontrar asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Determina el comportamiento cerca de las asíntotas verticales. 4 Tabular y trazar la gráfica.
RAÍCES: TEOREMA DEL RESIDUO, DEL FACTOR Y DIVISIÓN SINTÉTICA
Los ceros (o raíces) de un polinomio f(x) son las soluciones de la ecuación f(x)=0 (el termino raíz es mas apropiado). Cada cero real es un ''corte de la gráfica de f al eje x.
Para identificas las raíces o ceros de un polinomio se deben llevar a cabo los siguientes teoremas como herramientas:
TEOREMA DEL RESIDUO
si el polinomio P(x) se divide entre x-a, entonces el residuo es P(x)
¿Para qué nos sirve esto?
Podemos calcular el resto de una
división sin tener que hacerla,
siempre que dividamos un polinomio por un binomio de la
forma x-a.
Es decir:
Si queremos saber el resto de la división P(x): Q(x) siendo:
P(x)= 2x2+3x-2
Q(x)= x-2
(2x2+3x-2): (x-2) =
Aplicamos el teorema:
Identificamos en primer lugar “a”, (x-2) en este caso a= 2.
Ahora calculamos el valor numérico del polinomio para a= 2
P(2)= 2.22+3.2-2=12
De este modo observamos como el resto de la división es 12
Lo comprobamos de la manera tradicional:
2
2x2 +3x -2 x-2
-2x2+4x 2x+7
0+7x-2
-7x+14
+12
Lo comprobamos por Ruffini:
TEOREMA DEL FACTOR
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.
Ejercicio
Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:
1(x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)
(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.
P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0
(x − 3) no es un factor.
2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.
P(−1) = (−1)6 − 1 = 0
(x + 1) es un factor.
Calculo las raíces del polinomio:
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 +2 +6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0
x = −2 y x = 3 son las raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − x − 6, porque P(−2) = 0 y P(3) = 0.
P(x) = (x + 2) · (x − 3)
DIVISIÓN SINTÉTICA
El procedimiento consiste en una simplificion de la división corriente o división desarrollada.
La rapidez con la que se afecta, la sencillez y la forma compactada del método son varias razones por las cuales la división sintética se usa tanto y se convertirá en una poderosa herramienta para el calculo de factores.
Su algoritmo es el siguiente:
Se pretende que los lugares donde falte una potencia de la letra o variable principal del dividendo se coloque un cero.
El divisor debe ser de la forma (x-f)
Tanto de dividendo como de divisor solamente se toman en cuenta los coeficientes.
del divisor se toma en cuenta solamente el termino libre, con signo cambiado; el otro coeficiente, por ser la unidad solamente sirve para cancelar términos del dividendo.
= 
es la asíntota vertical
es la asíntota horizontal.
es la asíntota oblicua.
tiene por asíntota oblicua la recta 
la función está por encima de la asíntota y en el intervalo 
la función está por debajo de la asíntota.
