Los ceros (o raíces) de un polinomio f(x) son las soluciones de la ecuación f(x)=0 (el termino raíz es mas apropiado). Cada cero real es un ''corte de la gráfica de f al eje x.
Para identificas las raíces o ceros de un polinomio se deben llevar a cabo los siguientes teoremas como herramientas:
TEOREMA DEL RESIDUO
si el polinomio P(x) se divide entre x-a, entonces el residuo es P(x)
¿Para qué nos sirve esto?
Podemos calcular el resto de una
división sin tener que hacerla,
siempre que dividamos un polinomio por un binomio de la
forma x-a.
Es decir:
Si queremos saber el resto de la división P(x): Q(x) siendo:
P(x)= 2x2+3x-2
Q(x)= x-2
(2x2+3x-2): (x-2) =
Aplicamos el teorema:
Identificamos en primer lugar “a”, (x-2) en este caso a= 2.
Ahora calculamos el valor numérico del polinomio para a= 2
P(2)= 2.22+3.2-2=12
De este modo observamos como el resto de la división es 12
Lo comprobamos de la manera tradicional:
2
2x2 +3x -2 x-2
-2x2+4x 2x+7
0+7x-2
-7x+14
+12
Lo comprobamos por Ruffini:
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.
Ejercicio
Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:
1(x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)
(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.
P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0
(x − 3) no es un factor.
2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.
P(−1) = (−1)6 − 1 = 0
(x + 1) es un factor.
Calculo las raíces del polinomio:
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 +2 +6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0
x = −2 y x = 3 son las raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − x − 6, porque P(−2) = 0 y P(3) = 0.
P(x) = (x + 2) · (x − 3)
DIVISIÓN SINTÉTICA
El procedimiento consiste en una simplificion de la división corriente o división desarrollada.
La rapidez con la que se afecta, la sencillez y la forma compactada del método son varias razones por las cuales la división sintética se usa tanto y se convertirá en una poderosa herramienta para el calculo de factores.
Su algoritmo es el siguiente:
- Se pretende que los lugares donde falte una potencia de la letra o variable principal del dividendo se coloque un cero.
- El divisor debe ser de la forma (x-f)
- Tanto de dividendo como de divisor solamente se toman en cuenta los coeficientes.
- del divisor se toma en cuenta solamente el termino libre, con signo cambiado; el otro coeficiente, por ser la unidad solamente sirve para cancelar términos del dividendo.
No hay comentarios:
Publicar un comentario