CAMBIO DE BASE

Principio de valor relativo
El valor de cada cifra que forma un numero depende de la posición que ocupa.
Ejemplo: en el numero 252, el primer  2 y el ultimo 2 no significa lo mismo: el primero representa doscientos y el segundo 2.  
Cambio de base n a base 10
Se usa el principio del valor relativo y que cada lugar representa una potencia de la base. Por ejemplo: 

1B027(16=7+2*16+0*16 a la 2+11*16 a la 3+ 1*16 a la 4= 110631

Ejercicio 3:
Expresa en base 10 los siguientes numeros: 35( 7, 1002(5 ABC(20 
Puedes comprobar los dos primeros resultados en el escena de la pagina anterior.


Cambio de base 10 a base n
Fíjate en los pasos que te indica la siguiente escena: 

Paso 1: Elige un numero decimal y la base 
Paso 2: Se divide el numero decimal entre la base 
Paso 3: Siempre que el cociente sea distinto de 0 se sigue dividiendo el ultimo cociente entre la base. 
Paso 4: Fíjate en todas las divisiones hechas  
Paso 5: Los últimos serán los primeros, de izquierda a derecha, que aparecen al expresar numero decimal en la base elegida. 

Ejercicio 3: 
a) Expresa el numero decimal 4752 en base 6 y en base 20
b) Expresa en base 4 el numero 20531(6

1 1 1 1	9 6 8
+  1 0 1 0	+  3 9 4
1 1 0 0 1	1 0 2 C

d) Si tuvieras que elegir una base distinta de 10, ¿que base elegirías?

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Es el exponente al cual otro valor fijo, la base, debe llegar para producir este numero. 

Para cada dos números reales positivos que deben se b y x, donde b no es igual a 1, el logaritmo de x con base de  b, se escribe como logb(x) y es el numero real único tal como by=x.

Veamos un ejemplo practico de lo que es un logaritmo y como hacer cálculos de logaritmos. Tenemos 64, es que igual 4 a la 3, entonces, para obtener el logaritmo de 64 se puede escribir de esta manera log4(64)=3. 

Entonces un logaritmo es una forma de representar un exponente y sis vemos otro ejemplo de logaritmo es revertir la operación de la potenciación, lo cuales, elevar un número a una potencia. Por ejemplo, el poder de tres o cúbico  de 2 es 8, porque 8 es el producto de 3 factores de 2, tal como sigue:

 2 a la 3 = 2x2x2=8 
Y se sigue a esta ecuación para elaborar un logaritmo con base 2, entonces es 3. De tal forma de log28=3
En la potenciacion la potencia cubica de un numero es el producto 3 de factores del mismo numero. Pero en otras situaciones, elevar un numero a la n potencia, donde n es un numero natural, se hace multiplicando a un numero por n factores del mismo numero. Con esto se quiere decir que los logaritmos pueden tener una base con cualquier de los positivos números reales. 

$o{g}_{a}x$ $\iff$ $a^y=x$  a, x $ϵ$ $R^{+}$, a ≠ 1

Lo anterior quiere decir que el logaritmo de a con base x es igual a a elevado la potencia y  para obtener x. 

Entonces un logaritmo de un  numero positivo real x con respecto a su base b, un numero real positivo que no es igual a 1, es el exponente por la cual  debe ser elevado para llegar a x. Siendo que logbX  o nombrado como logaritmo de x con  base de b.

FUNCION LOGARITMICA

FUNCIÓN LOGARÍTMICA 

En análisis matemático , usualmente, el logaritmo de un número real positivo en una base de logaritmo determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, ${\displaystyle \log _{10}1000=3}$, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación  la división , el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponentes  de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
 
 Dada una función inyectiva, y=f(x), se llama función inversa de f a otra función, g, tal que g(y)=x. En la figura adjunta se puede ver la inversa de la función exponencial.Para cada x se obtiene ax. Al valor obtenido lo llamamos y o f(x). La función inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x.Esta función se llama función logarítmica y, como puedes observar, es simétrica de la función exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

 Es la función inversa de la función exponencial y se denota de la siguiente manera: y = logax, con a>0 y distinto de 1.

 En la figura se representa la gráfica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial. Sus propiedades son "simétricas".

 EJEMPLO

 1.

 

Aplicamos la definción de logaritmo y pasamos 0.25 a fracción decimal y la simplificamos

El ¼ lo ponemos en forma de potencia e igualamos los exponentes

 

 

https://www.youtube.com/watch?v=C0vUje9Uduc

MODELO GRFICO

MODELO GRAFICO 

Como es de esperar, el método grafico consiste en representar las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución. La solución del sistema es el punto de intersección entre las gráficas. La razón de ello es que las coordenadas de dicho punto cumplen ambas ecuaciones y, por tanto, es la solución del sistema.

 Como vamos a trabajar con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (x e y), la gráfica de cada ecuación es una recta. Como consecuencia, la intersección de las gráficas es un único punto (a, b) y la solución del sistema es x = a e y = b. No obstante, si las rectas son paralelas (no se cortan), el sistema no tiene solución, y si son iguales hay infinitas soluciones. 

Los pasos necesarios para realizar el método son siete:

1.  graficar las soluciones factibles, o el espacio de  soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.
2.  Las restricciones de no negatividad  Xi>= 0 confían todos los valores posibles.
3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.
4.  trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.
5.  Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.
6.  Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.
7.  Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

Ejemplo

Resolución:

 

 Lo primero que hacemos es despejar la y en ambas ecuaciones. Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Utilizamos, por ejemplo, x = 0 y x = 2. Para la primera función tenemos la tabla

 

Para la segunda función tenemos la tabla (utilizando los mismos valores para x):

   

Representamos los puntos de las tablas y los unimos:

 

La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan:

 

 https://www.youtube.com/watch?v=eMug3FSoOZk

                                                CAMBIO DE BASE
Cuando se elige una base B para un espacio vectorial V de dimensión n, la función de coordenadas asociadas sobre Rn proporciona un sistema de coordenadas para V. Se identifica de manera únicacon su vector de B.

                                                                         EJEMPLO:

Fórmula para cambiar de base

$${\log }_b\left(x\right)=\frac{{\log }_c\left(x\right)}{{\log }_c\left(b\right)}$$

No olvidéis que la base de un logaritmo siempre debe ser positiva y distinta de 1.

Ejemplos

Observad que calcular los logaritmos del siguiente ejercicio no es sencillo en tanto que el argumento no puede escribirse como una potencia de la base. Esto se soluciona al cambiar a la base binaria.

Ejercicio 1

Pasad los siguientes logaritmos a base binaria para poder calcular su resultado:

1. ${\log }_4\left(32\right)$
2. ${\log }_4\left(2\right)$
3. ${\log }_8\left(32\right)$
4. ${\log }_{32}\left(8\right)$
5. ${\log }_{16}\left(2\right)$

Solución

Observad que en el ejercicio anterior ha sido fácil calcular el resultado final porque tanto la base como el argumento de los logaritmos eran potencias de la nueva base del logaritmo. Esto no ocurre en el siguiente ejercicio:

Ejercicio 2

Pasad los siguientes logaritmos de potencias de $2$ a base binaria:

1. ${\log }_5\left(16\right)$
2. ${\log }_{10}\left(4\right)$
3. ${\log }_e\left(32\right)$
4. ${\log }_5\left(2\right)$
5. $\ln \left(8\right)$

Solución

Ejercicio 3

Pasad los siguientes logaritmos a una base adecuada para que su cálculo sea inmediato:

1. ${\log }_{25}\left(5\right)$
2. ${\log }_9\left(27\right)$
3. ${\log }_8\left(16\right)$
4. ${\log }_{100}\left(10\right)$

                                                                IMAGEN