FUNCIONES DE GRADO SUPERIOR

ASÍNTOTAS 

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:
                                                          


Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :



La recta “x = a” es la asíntota vertical.


Ejemplo:

      es la asíntota vertical

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :


La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites: :



La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:



             es la asíntota oblicua.

NOTA

1. Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

2. En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

Posición relativa de la función con respecto a la asíntota

Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:



Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota].

Ejemplo:

La función tiene por asíntota oblicua la recta

Calculamos los puntos de intersección de ambas:



El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).

Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.



Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.

FUNCIONES DE GRADO SUPERIOR

MODELO ALGEBRAICO GENERAL DE UNA FUNCIÓN RACIONAL 

Las funciones racionales son el dominio de formar todos los números  reales menos los valores de x que anulan el denominador.

 

Las funciones racionales tiene diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar aproximar los resultados de otras funciones mas complejas, ya que son computacional mente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

EJEMPLOS

Una función racional, es una función de la forma:

 

Donde P(x) y Q(x) son funciones polinomiales. Si bien las funciones racionales están formadas por funciones polinomiales, sus gráficas son muy distintas.




El dominio de una función racional está formado por todos los números reales x; excepto aquellos para los cuales el denominador es cero. En esos puntos se generan asíntotas. 

¿Cómo graficar funciones racionales?

 

1 Factorizar la función.
2 Encontrar los puntos de intersección con eje X y eje Y.
3 Encontrar asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Determina el comportamiento cerca de las asíntotas verticales.
4 Tabular y trazar la gráfica.

FUNCIONES DE GRADO SUPERIOR

RAÍCES: TEOREMA DEL RESIDUO, DEL FACTOR Y DIVISIÓN SINTÉTICA 


Los ceros (o raíces) de un polinomio f(x) son las soluciones de la ecuación f(x)=0 (el termino raíz es mas apropiado). Cada cero real es un ''corte de la gráfica de f al eje x.
Para identificas las raíces o ceros de un polinomio se deben llevar a cabo los siguientes teoremas como herramientas:

TEOREMA DEL RESIDUO
si el polinomio P(x) se divide entre x-a, entonces el residuo es P(x)

¿Para qué nos sirve esto?

Podemos calcular el resto de una división sin tener que hacerla,

siempre que dividamos un polinomio por un binomio de la forma x-a.

Es decir:

Si queremos saber el resto de la división P(x): Q(x) siendo:

P(x)= 2x2+3x-2

Q(x)= x-2

(2x2+3x-2): (x-2) =

Aplicamos el teorema:

Identificamos en primer lugar “a”, (x-2) en este caso a= 2.

Ahora calculamos el valor numérico del polinomio para a= 2

P(2)= 2.22+3.2-2=12

De este modo observamos como el resto de la división es 12

Lo comprobamos de la manera tradicional:

2

2x2 +3x -2 x-2

-2x2+4x 2x+7

0+7x-2

 -7x+14

 +12

Lo comprobamos por Ruffini:

TEOREMA DEL FACTOR 


El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.
Ejercicio

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)6 − 1 = 0

(x + 1) es un factor.



Calculo las raíces del polinomio:

Q(x) = x2 − x − 6

Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.

Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0

Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0

Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0

Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 +2 +6 = 0

Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0

x = −2 y x = 3 son las raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − x − 6, porque P(−2) = 0 y P(3) = 0.

P(x) = (x + 2) · (x − 3)

DIVISIÓN SINTÉTICA
El procedimiento consiste en una simplificion de la división corriente o división desarrollada.
La rapidez con la que se afecta, la sencillez y la forma compactada del método son varias razones por las cuales la división sintética se usa tanto y se convertirá en una poderosa herramienta para el calculo de factores.
Su algoritmo es el siguiente:

1. Se pretende  que los lugares donde falte una potencia de la letra o variable principal del dividendo se coloque un cero.
2. El divisor debe ser de la forma (x-f)
3. Tanto de dividendo como de divisor solamente se toman en cuenta los coeficientes. 
4. del divisor se toma en cuenta solamente el termino libre, con signo cambiado; el otro coeficiente, por ser la unidad solamente sirve para cancelar términos del dividendo.